11. Решите уравнение: 3²ˣ - 2·3²ˣ⁻¹ - 2·3²ˣ⁻² = 1.

Решение:

Чтобы решить показательное уравнение \( 3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1 \), вынесем общий множитель за скобки.

1. Представим степени с одинаковым основанием через меньший показатель \( 2x-2 \):
\( 3^{2x} = 3^{2x-2} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x-2} \) \( 3^{2x-1} = 3^{2x-2} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{2x-2} \).
2. Подставим в уравнение: \( 9 \cdot 3^{2x-2} - 2 \cdot (3 \cdot 3^{2x-2}) - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1 \).
3. Вынесем общий множитель \( 3^{2x-2} \) за скобки: \( 3^{2x-2} (9 - 2 \cdot 3 - 2) = 1 \).
4. Упростим выражение в скобках: \( 9 - 6 - 2 = 1 \).
5. Получим: \( 3^{2x-2} \cdot 1 = 1 \) \( \Rightarrow 3^{2x-2} = 1 \).
6. Так как \( 1 = 3^0 \), то \( 3^{2x-2} = 3^0 \).
7. Приравняем показатели степеней: \( 2x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow 2x = 2 \) \( \Rightarrow x = 1 \).

Ответ: \( x = 1 \).