14. Вычислите определенный интеграл: ∫(x² - 2x)(3 - 2x) : (x - 2)dx с нижним пределом -1 и верхним пределом 0

Решение:

Вычислим определённый интеграл \(\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx\).

1. Упростим подынтегральную функцию. Вынесем \(x\) из первой скобки: \(x(x-2)\).
2. \(\frac{x(x-2)(3 - 2x)}{x - 2}\).
3. Сократим \((x-2)\) (при условии \(x
   e 2\), что выполняется в пределах интегрирования от -1 до 0): \(x(3 - 2x)\).
4. Раскроем скобки: \(3x - 2x^2\).
5. Теперь интеграл имеет вид: \(\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2) dx\).
6. Найдем первообразную: \(\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\).
7. Вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы: \(\left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{0}\).
8. Подставим верхний предел (0): \(\frac{3(0)^2}{2} - \frac{2(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0\).
9. Подставим нижний предел (-1): \(\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{3(1)}{2} - \frac{2(-1)}{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3}\).
10. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6}\).
11. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \(0 - \frac{13}{6} = -\frac{13}{6}\).

Ответ: \(-\frac{13}{6}\).