13. Решите систему: { 2x - 3y = 6; 2ˣ * 2ʸ = 8 }

Решение:

Дана система уравнений:

1. \( 2x - 3y = 6 \)
2. \( 2^x \cdot 2^y = 8 \)

Преобразуем второе уравнение:

1. \( 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y} \).
2. \( 8 = 2^3 \).
3. Следовательно, \( 2^{x+y} = 2^3 \), что означает \( x+y = 3 \).

Теперь имеем новую систему из двух линейных уравнений:

1. \( 2x - 3y = 6 \)
2. \( x + y = 3 \)

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 3 - y \).

Подставим это в первое уравнение:

1. \( 2(3 - y) - 3y = 6 \)
2. \( 6 - 2y - 3y = 6 \)
3. \( 6 - 5y = 6 \)
4. \( -5y = 0 \) \( \Rightarrow y = 0 \).

Найдем \( x \), подставив \( y = 0 \) во второе уравнение:

1. \( x + 0 = 3 \) \( \Rightarrow x = 3 \).

Проверим решение в исходных уравнениях:

1. \( 2(3) - 3(0) = 6 - 0 = 6 \) (Верно).
2. \( 2^3 \cdot 2^0 = 8 \cdot 1 = 8 \) (Верно).

Ответ: \( x = 3, y = 0 \).