4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания \( a = 10 \) см.
• Боковое ребро \( l = 13 \) см.

Найти: Высоту пирамиды \( h \).

Решение:

1. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ основания \( d \) найдём по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200 \) \( d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) см.
2. Радиус описанной окружности около основания (половина диагонали) равен \( R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) см.
3. Высота пирамиды \( h \), радиус описанной окружности \( R \) и боковое ребро \( l \) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\( h^2 + R^2 = l^2 \)

\( h^2 + (5\sqrt{2})^2 = 13^2 \)

\( h^2 + (25 \cdot 2) = 169 \)

\( h^2 + 50 = 169 \)

\( h^2 = 169 - 50 \)

\( h^2 = 119 \)

\( h = \sqrt{119} \) см.

Ответ: \( h = \sqrt{119} \) см.