4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ основания \( d \) равна \( d = a \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) см.
2. Апофема \( h_a \) — высота боковой грани. Половина диагонали основания \( \frac{d}{2} = 5\sqrt{2} \) см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \) и боковым ребром \( l \). По теореме Пифагора: \( H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2 \).
4. \( H^2 + (5\sqrt{2})^2 = 13^2 \)
5. \( H^2 + 50 = 169 \)
6. \( H^2 = 169 - 50 = 119 \)
7. \( H = \sqrt{119} \) см.

Ответ: \( \sqrt{119} \) см.