12. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности.

Решение:

Дано:

• Равнобочная трапеция.
• Основания \( a = 10 \) см, \( b = 18 \) см.
• Высота \( h = 3 \) см.
• Вращение происходит около меньшего основания (\( a = 10 \) см).

Найти: Объем тела вращения \( V \) и площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

При вращении трапеции около меньшего основания образуется цилиндр, из которого вычитаются два конуса.

1. Найдём длину боковой стороны трапеции:
• Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Отрезок нижнего основания, отсекаемый высотой, равен \( \frac{b-a}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
• Боковая сторона \( c \) (гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( h=3 \) и \( 4 \)) по теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) \( c = \sqrt{25} = 5 \) см.
2. Объем тела вращения:
• Тело вращения состоит из цилиндра радиусом \( R=h=3 \) см и высотой \( H_{цилиндра}=a=10 \) см, и двух одинаковых конусов с радиусом основания \( R=h=3 \) см и высотой \( H_{конуса}=\frac{b-a}{2}=4 \) см.
• Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi R^2 H_{цилиндра} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \) см³.
• Объем одного конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \) см³.
• Общий объём тела вращения: \( V = V_{цилиндра} + 2 \cdot V_{конуса} = 90\pi + 2 \cdot 12\pi = 90\pi + 24\pi = 114\pi \) см³.
3. Площадь боковой поверхности:
• Боковая поверхность тела вращения состоит из боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов.
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок.цилиндра} = 2\pi R H_{цилиндра} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \) см².
• Площадь боковой поверхности одного конуса: \( S_{бок.конуса} = \pi R c = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \) см².
• Общая площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_{бок.цилиндра} + 2 \cdot S_{бок.конуса} = 60\pi + 2 \cdot 15\pi = 60\pi + 30\pi = 90\pi \) см².

Ответ: Объем тела вращения равен \( 114\pi \) см³, площадь боковой поверхности равна \( 90\pi \) см².