12. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности.

Решение:

Тело вращения состоит из цилиндра и двух конусов.

1. Цилиндр:
• Высота цилиндра равна высоте трапеции: \( h_{cyl} = 3 \) см.
• Радиус основания цилиндра равен меньшему основанию трапеции: \( r = 10 \) см.
• Объем цилиндра: \( V_{cyl} = \pi r^2 h_{cyl} = \pi \cdot 10^2 \cdot 3 = 300\pi \) см³
2. Конусы:
• Основание каждого конуса имеет радиус \( r = 10 \) см.
• Высота каждого конуса равна половине разности оснований трапеции: \( h_{cone} = \frac{18 - 10}{2} = 4 \) см.
• Длина образующей конуса \( l \) (которая является боковой стороной трапеции): \( l = \sqrt{h_{cone}^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \) см.
• Объем одного конуса: \( V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{cone} = \frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot 4 = \frac{400\pi}{3} \) см³.
• Объем двух конусов: \( 2 \cdot V_{cone} = 2 \cdot \frac{400\pi}{3} = \frac{800\pi}{3} \) см³.
3. Общий объем тела вращения: \( V_{total} = V_{cyl} + 2 V_{cone} = 300\pi + \frac{800\pi}{3} = \frac{900\pi + 800\pi}{3} = \frac{1700\pi}{3} \) см³.
4. Площадь боковой поверхности:
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{cyl} = 2\pi r h_{cyl} = 2\pi \cdot 10 \cdot 3 = 60\pi \) см².
• Площадь боковой поверхности двух конусов: \( 2 S_{cone} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 2\sqrt{29} = 40\pi\sqrt{29} \) см².
• Общая площадь боковой поверхности: \( S_{total} = S_{cyl} + 2 S_{cone} = 60\pi + 40\pi\sqrt{29} = 20\pi(3 + 2\sqrt{29}) \) см².

Ответ: Объем тела вращения равен \( \frac{1700\pi}{3} \) см³, площадь боковой поверхности равна \( 20\pi(3 + 2\sqrt{29}) \) см².