4. Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

Решение:

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, имеет диаметр, равный гипотенузе. Следовательно, гипотенуза является диаметром окружности.

1. Радиус окружности:

Радиус \( R \) равен половине диаметра (гипотенузы): \( R = \frac{12}{2} = 6 \) см.

2. Градусные меры дуг:

Углы прямоугольного треугольника равны 90°, 32° и \( 180° - 90° - 32° = 58° \).

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен этой дуге. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Гипотенуза является диаметром, поэтому она опирается на полуокружность (180°). Дуга, соответствующая гипотенузе, равна 180°.

Вершина прямого угла (90°) опирается на дугу, равную \( 2 \cdot 90° = 180° \). Это соответствует диаметру (гипотенузе).

Пусть острые углы равны \( \alpha = 32° \) и \( \beta = 58° \).

Вершина угла \( \alpha=32° \) делит окружность, соответствующая катету, противолежащему этому углу. Дуга, на которую опирается вписанный угол \( 32° \), равна \( 2 \cdot 32° = 64° \).

Вершина угла \( \beta=58° \) делит окружность, соответствующую катету, противолежащему этому углу. Дуга, на которую опирается вписанный угол \( 58° \), равна \( 2 \cdot 58° = 116° \).

Ответ: Радиус окружности равен 6 см. Градусные меры дуг: 64°, 116°, 180°.