11. Вершины равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) делят описанную около него окружность на три дуги, причём дуга АВ равна 70°. Найдите углы треугольника АВС.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, AB = BC. Вершины A, B, C лежат на окружности. Дуга AB = 70°.

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги. Угол ACB опирается на дугу AB, значит, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ACB = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} AB = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} 70° = 35°} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный с AB = BC, то углы при основании AC равны. Значит, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} BAC = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ACB = 35°} \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол ABC:

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ABC = 180° - (\boldsymbol{\boldsymbol{\angle} BAC} + \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ACB}) = 180° - (35° + 35°) = 180° - 70° = 110° \).

Ответ: Углы треугольника равны 35°, 110°, 35°.