12. Центральный угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

Пусть O — центр окружности. Хорда AB = 6. Угол ОАВ = 60°.

Рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы окружности, поэтому OA = OB. Треугольник AOB — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} OBA = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} OAB = 60°} \).

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} AOB = 180° - (\boldsymbol{\boldsymbol{\angle} OAB} + \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} OBA}) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60° \).

Так как все углы треугольника AOB равны 60°, то треугольник AOB — равносторонний.

Следовательно, все стороны треугольника равны. OA = OB = AB = 6.

Радиус окружности равен 6.

Ответ: 6.