15. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ABC является вписанным углом в окружность.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол ABC опирается на дугу AC.

На рисунке показана окружность с центром O. Дуга AB = 70°, дуга BC = 70°.

Таким образом, дуга AC = 360° - (дуга AB + дуга BC) = 360° - (70° + 70°) = 360° - 140° = 220°.

Но угол ABC опирается на меньшую дугу AC. На рисунке показано, что угол ABC - острый.

С учетом того, что A, B, C - вершины треугольника, то угол ABC опирается на дугу, которая не содержит точку B.

Если дуга AB = 70° и дуга BC = 70°, то угол ABC опирается на дугу AC, которая является суммой оставшихся дуг. Это неверно.

Угол ABC опирается на дугу AC, которая не включает точку B. Это значит, что дуга AC = 360° - дуга ABC.

Другое условие: Если дуги AB и BC равны, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Углы при основании равны.

Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Или половине дуги.

Пусть дуга AB = 70°, дуга BC = 70°.

Угол BAC опирается на дугу BC, значит \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} BAC = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} BC = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} 70° = 35°} \).

Угол BCA опирается на дугу AB, значит \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} BCA = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} AB = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} 70° = 35°} \).

Угол ABC опирается на дугу AC. На рисунке дуга AC является большей частью окружности. Дуга AC = 360° - (дуга AB + дуга BC) = 360° - (70° + 70°) = 360° - 140° = 220°.

Если угол ABC опирается на дугу AC, то \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ABC = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} AC} \).

Но на рисунке угол ABC выглядит как острый, а дуга AC = 220° соответствует тупому вписанному углу.

Возможно, дуга AB и дуга BC - это дуги, на которые вершины делят окружность. И поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то и дуги, стягиваемые этими сторонами, должны быть равны. Таким образом, дуга AB = дуга BC = 70°.

Тогда дуга AC = 360° - 70° - 70° = 220°.

Если угол ABC опирается на дугу AC, то \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ABC = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} AC} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} 220° = 110° \).

Однако, на рисунке угол ABC выглядит острым. Обратим внимание на то, что на рисунке к задаче 11 указано, что дуга AB = 70°, и углы треугольника получились 35°, 110°, 35°. Скорее всего, это продолжение той же задачи, и на рисунке 15 показаны те же дуги.

Если предположить, что углы BAC и BCA равны 35°, то угол ABC = 110°.

Если же угол ABC на рисунке 15 является вписанным углом, опирающимся на дугу AC, и на рисунке указано, что дуга AC = 140° (что следует из 70+70), но это малая дуга. Угол ABC опирается на большую дугу.

Если предположить, что дуга AC = 140°, то угол ABC = 140° / 2 = 70°.

Давайте вернемся к условию задачи 11: "Вершины равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) делят описанную около него окружность на три дуги, причём дуга АВ равна 70°. Найдите углы треугольника АВС."

Решение для задачи 11: \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ACB = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\smile} AB = \frac{1}{2} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} 70° = 35°} \). \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} BAC = 35°} \). \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle} ABC = 180° - 70° = 110° \).

Если на рисунке 15 те же условия, то угол ABC = 110°.

Однако, если посмотреть на рисунок 15, то угол ABC кажется острым. Возможно, дуга AC = 140°, и угол ABC = 70°.

Предположим, что на рисунке 15 показана другая ситуация. Угол ABC является вписанным. Он опирается на дугу AC. Если дуга AB = 70° и дуга BC = 70°, то центральный угол AOB = 70° и BOC = 70°. Тогда угол ABC опирается на дугу AC. Большая дуга AC = 360 - 140 = 220°. Тогда вписанный угол ABC = 220/2 = 110°. Малая дуга AC = 140°. Тогда вписанный угол, опирающийся на нее, равен 70°.

Так как на рисунке угол ABC выглядит острым, будем считать, что он опирается на малую дугу AC = 140°.

Ответ: 70.