3. Решите уравнение \( \sqrt{x+1} = x-5 \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x + 1 = (x-5)^2 \).
2. \( x + 1 = x^2 - 10x + 25 \).
3. Приведём уравнение к стандартному квадратному виду: \( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 - 11x + 24 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
5. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{11+5}{2} = 8 \), \( x_2 = \frac{11-5}{2} = 3 \).
6. Проверим корни на соответствие условию \( x-5 \ge 0 \) (так как корень не может быть отрицательным):
• Для \( x_1 = 8 \): \( 8 - 5 = 3 \ge 0 \). Корень подходит.
• Для \( x_2 = 3 \): \( 3 - 5 = -2 < 0 \). Корень не подходит.

Ответ: \( x = 8 \).