3. а) (2 балла) Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел, делящихся между числами 153 и 776.

Решение:

Мы ищем сумму натуральных трёхзначных чисел, которые делятся на 7 и находятся между 153 и 776.

Найдем первое трёхзначное число, делящееся на 7, которое больше 153. Для этого разделим 153 на 7: \(153 \div 7 \approx 21.86\). Следующее целое число — 22. Умножим 22 на 7: \(22 \times 7 = 154\). Итак, первое число — 154.

Найдем последнее трёхзначное число, делящееся на 7, которое меньше 776. Разделим 776 на 7: \(776 \div 7 \approx 110.86\). Предыдущее целое число — 110. Умножим 110 на 7: \(110 \times 7 = 770\). Итак, последнее число — 770.

Получилась арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 154\), последним членом \(a_n = 770\) и разностью \(d = 7\).

Найдем количество членов прогрессии по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\):

\(770 = 154 + (n-1)7\)

\(770 - 154 = (n-1)7\)

\(616 = (n-1)7\)

\(n-1 = \frac{616}{7} = 88\)

\(n = 89\)

Теперь найдем сумму всех членов прогрессии по формуле \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\):

\(S_{89} = \frac{(154 + 770) \times 89}{2} = \frac{924 \times 89}{2} = 462 \times 89 = 41118\)

Ответ: 41118