2. (2 балла) Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее числа (1 + √3)² + √7 - √3

Решение:

Сначала раскроем квадрат суммы:

\((1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(4 + 2\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} + \sqrt{7}\)

Оценим значения корней:

\(\sqrt{3}\) приблизительно равно \(1.732\).

\(\sqrt{7}\) приблизительно равно \(2.646\).

Сложим значения:

\(4 + 1.732 + 2.646 = 8.378\)

Наибольшее натуральное число, не превосходящее \(8.378\), равно \(8\).

Ответ: 8