6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение х² - (а + 2)х + 2а = 0

Решение:

Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-(a+2)\), \(c=2a\).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2a = (a+2)^2 - 8a = a^2 + 4a + 4 - 8a = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 \]

а) имеет ровно два корня?

Для того чтобы квадратное уравнение имело ровно два корня, дискриминант должен быть строго больше нуля.

\[ D > 0 \]

\[ (a-2)^2 > 0 \]

Это условие выполняется для всех значений \(a\), кроме \(a=2\), так как при \(a=2\) дискриминант равен нулю.

Ответ: \(a \in (-\infty; 2) \cup (2; \infty)\)

б) имеет ровно два различных положительных корня?

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных положительных корня, должны выполняться три условия:

1. Дискриминант больше нуля: \(D > 0\). Как мы нашли выше, это \(a \neq 2\).
2. Сумма корней больше нуля: \(x_1 + x_2 > 0\). По теореме Виета, \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(a+2)}{1} = a+2\).
3. Произведение корней больше нуля: \(x_1 \cdot x_2 > 0\). По теореме Виета, \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2a}{1} = 2a\).

Объединим все условия:

• \(a \neq 2\)
• \(a + 2 > 0 \rightarrow a > -2\)
• \(2a > 0 \rightarrow a > 0\)

Наиболее строгое условие — \(a > 0\). Учитывая, что \(a \neq 2\), получаем:

\(a \in (0; 2) \cup (2; \infty)\)

Ответ: \(a \in (0; 2) \cup (2; \infty)\)