22 Постройте график функции y = 5x-8/5x-8x. При каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку?

Решение:

Дана функция \( y = \frac{5x-8}{5x-8x} \).

Упростим знаменатель:

\[ 5x - 8x = -3x \]

Таким образом, функция принимает вид:

\[ y = \frac{5x-8}{-3x} \]

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, \( -3x \neq 0 \), следовательно, \( x \neq 0 \).

Теперь преобразуем выражение:

\[ y = \frac{5x}{-3x} - \frac{8}{-3x} \]

\[ y = -\frac{5}{3} + \frac{8}{3x} \]

Это уравнение гиперболы. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось Y).
• Горизонтальная асимптота: \( y = -\frac{5}{3} \) (так как при \( x \to \pm \infty \), \( \frac{8}{3x} \to 0 \)).

График функции:

Теперь найдем значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравняем уравнение прямой и уравнение функции:

\[ kx = -\frac{5}{3} + \frac{8}{3x} \]

Умножим обе части на \( 3x \) (при \( x \neq 0 \)):

\[ 3x \cdot kx = 3x \cdot \left( -\frac{5}{3} + \frac{8}{3x} \right) \]

\[ 3kx^2 = -5x + 8 \]

\[ 3kx^2 + 5x - 8 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, это квадратное уравнение должно иметь ровно одно решение. Это произойдет, если дискриминант \( D = 0 \), или если уравнение является линейным (что возможно, если \( k=0 \)).

Случай 1: \( k = 0 \).

Прямая \( y = 0x \) или \( y = 0 \) (ось X). На графике функции \( y = -\frac{5}{3} + \frac{8}{3x} \) мы видим, что \( y \) никогда не равно \( -5/3 \), но пересекает ось Y в точке \( y = -8/3 \) (если бы \( x \neq 0 \)). Чтобы найти пересечение с осью X, приравняем \( y=0 \): \( -\frac{5}{3} + \frac{8}{3x} = 0 \) \(\rightarrow \) \( \frac{8}{3x} = \frac{5}{3} \) \(\rightarrow \) \( 8 = 5x \) \(\rightarrow \) \( x = 8/5 \). То есть, при \( k=0 \), прямая \( y=0 \) имеет одну точку пересечения с графиком \( x=8/5 \).

Случай 2: \( k \neq 0 \).

Дискриминант квадратного уравнения \( 3kx^2 + 5x - 8 = 0 \) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (3k) \cdot (-8) = 25 + 96k \]

Чтобы было одно решение, \( D = 0 \):

\[ 25 + 96k = 0 \]

\[ 96k = -25 \]

\[ k = -\frac{25}{96} \]

Важно проверить, что полученное значение \( x \) не равно 0. Если \( D=0 \), то \( x = -b / (2a) = -5 / (2 \cdot 3k) = -5 / (6k) \).

Подставим \( k = -25/96 \):

\[ x = -5 / (6 \cdot (-25/96)) = -5 / (-150/96) = 5 \nolimits \times \frac{96}{150} = \frac{480}{150} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} \]

Так как \( x = 16/5 \) не равно 0, то \( k = -25/96 \) является решением.

Следовательно, прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком при \( k=0 \) и \( k = -25/96 \).

Ответ: 0, -25/96