22. Исследуйте функцию у=2х³-3х²+5 с помощью производной и постройте ее график.

Исследование функции \( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \in (-\infty; +\infty) \).
2. Производная функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 5) = 6x^2 - 6x \]

3. Критические точки: Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы.

\[ 6x^2 - 6x = 0 \]

\[ 6x(x - 1) = 0 \]

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

4. Определение интервалов возрастания и убывания:
• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (1; \infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
5. Экстремумы:
• При \( x = 0 \) функция меняет рост на убывание, значит, это точка максимума.

\( y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 5 = 5 \). Точка максимума: \( (0; 5) \).

• При \( x = 1 \) функция меняет убывание на рост, значит, это точка минимума.

\( y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \). Точка минимума: \( (1; 4) \).

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости:

Найдем вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6 \]

Приравняем вторую производную к нулю:

\[ 12x - 6 = 0 \implies 12x = 6 \implies x = 0.5 \]

Точка \( x = 0.5 \) — точка перегиба.

• Интервал \( (-\infty; 0.5) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y''(0) = 12(0) - 6 = -6 < 0 \). Функция выпукла вверх (вогнута).
• Интервал \( (0.5; \infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y''(1) = 12(1) - 6 = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз.

Значение функции в точке перегиба:

\( y(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 5 = 2(0.125) - 3(0.25) + 5 = 0.25 - 0.75 + 5 = 4.5 \). Точка перегиба: \( (0.5; 4.5) \).

7. Построение графика:

Вывод: Функция возрастает на \( (-\infty; 0] \) и \( [1; \infty) \), убывает на \( [0; 1] \). Имеет максимум в точке \( (0; 5) \) и минимум в точке \( (1; 4) \). Точка перегиба находится в \( (0.5; 4.5) \).