17. Прямоугольник с диагональю 10см вращается вокруг стороны, равной 6см. Найти площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело вращения представляет собой цилиндр. Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, где стороны прямоугольника — катеты.

Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника, \( d \) — диагональ.

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).

У нас есть диагональ \( d = 10 \) см. Одна из сторон равна \( 6 \) см. Пусть \( a = 6 \) см.

Найдем вторую сторону \( b \):

\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]

\[ 36 + b^2 = 100 \]

\[ b^2 = 100 - 36 \]

\[ b^2 = 64 \]

\[ b = \(\sqrt{64}\) = 8 \) см.

Когда прямоугольник вращается вокруг стороны, эта сторона становится высотой цилиндра, а другая сторона — радиусом основания.

Случай 1: Вращение вокруг стороны длиной 6 см.

Высота цилиндра \( h = 6 \) см.

Радиус основания цилиндра \( r = 8 \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра \( S = 2\pi r(r+h) \).

\[ S = 2\(\pi\) \(\cdot\) 8 (8 + 6) = 16\(\pi\) (14) = 224\(\pi\) \) см².

Случай 2: Вращение вокруг стороны длиной 8 см.

Высота цилиндра \( h = 8 \) см.

Радиус основания цилиндра \( r = 6 \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра \( S = 2\pi r(r+h) \).

\[ S = 2\(\pi\) \(\cdot\) 6 (6 + 8) = 12\(\pi\) (14) = 168\(\pi\) \) см².

В задании сказано "вокруг стороны, равной 6см". Предполагается, что это высота.

Ответ: \( 224\pi \) см².