19. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 3x⁴-6x²+4.

Решение:

Чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить знаки производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 4 \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 - 6x^2 + 4) = 12x^3 - 12x \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 12x^3 - 12x = 0 \]

\[ 12x(x^2 - 1) = 0 \]

Отсюда получаем три критические точки:

\[ 12x = 0 \implies x_1 = 0 \]

\[ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_2 = 1, x_3 = -1 \]

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, \infty) \).

- Возьмем \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty, -1) \)): \( f'(-2) = 12(-2)((-2)^2 - 1) = -24(4 - 1) = -24 \cdot 3 = -72 < 0 \). Функция убывает.

- Возьмем \( x = -0.5 \) (интервал \( (-1, 0) \)): \( f'(-0.5) = 12(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -6(0.25 - 1) = -6(-0.75) = 4.5 > 0 \). Функция возрастает.

- Возьмем \( x = 0.5 \) (интервал \( (0, 1) \)): \( f'(0.5) = 12(0.5)((0.5)^2 - 1) = 6(0.25 - 1) = 6(-0.75) = -4.5 < 0 \). Функция убывает.

- Возьмем \( x = 2 \) (интервал \( (1, \infty) \)): \( f'(2) = 12(2)(2^2 - 1) = 24(4 - 1) = 24 \cdot 3 = 72 > 0 \). Функция возрастает.

Функция убывает там, где \( f'(x) < 0 \).

Ответ: Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [0, 1] \).