15. Решите уравнение cos2x+cosx = 0.

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \).

Подставляем в уравнение:

\[ (2\cos^2(x) - 1) + \cos(x) = 0 \]

Перепишем в виде квадратного уравнения относительно \( \cos(x) \):

\[ 2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0 \]

Пусть \( t = \cos(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + t - 1 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь возвращаемся к \( \cos(x) \):

1. \( \cos(x) = \frac{1}{2} \)

General solution: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2. \( \cos(x) = -1 \)

General solution: \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( x = \pi + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.