21. Решите уравнение sin²x+sinxcosx = 2cos²x.

Решение:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ \sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 0 \]

Если \( \cos(x) = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin^2(x) = 1 \). Подставим в уравнение:

\[ 1^2 + \sin(x) \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0 \]

\[ 1 = 0 \]

Это противоречие, значит \( \cos(x) \) не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на \( \cos^2(x) \).

\[ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} - \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0 \]

Используя \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), получим:

\[ \tan^2(x) + \tan(x) - 2 = 0 \]

Пусть \( t = \tan(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 + t - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь возвращаемся к \( \tan(x) \):

1. \( \tan(x) = 1 \)

General solution: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2. \( \tan(x) = -2 \)

General solution: \( x = \arctan(-2) + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \arctan(-2) + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.