21) Решите неравенство log_1/3(7-4x) ≥ -3.

Решение:

Решим логарифмическое неравенство. Учтём, что основание логарифма \( \frac{1}{3} \) меньше 1, поэтому при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): \( 7 - 4x > 0 \) \(\implies 7 > 4x \) \(\implies x < \frac{7}{4} \).
2. Преобразуем правую часть неравенства, представив \( -3 \) как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -3 = \log_{1/3} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}\right) = \log_{1/3} (3^3) = \log_{1/3} 27 \).
3. Исходное неравенство примет вид: \( \log_{1/3}(7-4x) \geq \log_{1/3} 27 \).
4. Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), снимаем логарифм, меняя знак неравенства: \( 7 - 4x \leq 27 \).
5. Решаем полученное линейное неравенство: \( -4x \leq 27 - 7 \) \(\implies -4x \leq 20 \).
6. Разделим обе части на \( -4 \) и сменим знак неравенства: \( x \geq \frac{20}{-4} \) \(\implies x \geq -5 \).
7. Теперь учтём ОДЗ: \( x < \frac{7}{4} \) и \( x \geq -5 \).
8. Объединяя эти два условия, получаем: \( -5 \leq x < \frac{7}{4} \).

Ответ: \( x \in [-5; \frac{7}{4}) \).