12) Выполните действия i^3 + i^12 + (1+3i)(1-3i) - i^2.

Решение:

Вспомним свойства мнимой единицы \( i \): \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \).

1. Вычислим \( i^3 \): \( i^3 = -i \).
2. Вычислим \( i^{12} \): \( i^{12} = (i^4)^3 = 1^3 = 1 \).
3. Вычислим \( i^2 \): \( i^2 = -1 \).
4. Выполним умножение комплексных чисел \( (1+3i)(1-3i) \) как разность квадратов: \( (1+3i)(1-3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10 \).
5. Подставим полученные значения в исходное выражение: \( -i + 1 + 10 - (-1) \).
6. Упростим: \( -i + 1 + 10 + 1 = 12 - i \).

Ответ: \( 12 - i \).