16) Вычислите значение выражения (cos 22.5° - sin 22.5°)(cos 22.5° + sin 22.5°).

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

1. В нашем случае \( a = \cos 22.5^\circ \) и \( b = \sin 22.5^\circ \).
2. Применим формулу: \( (\cos 22.5^\circ - \sin 22.5^\circ)(\cos 22.5^\circ + \sin 22.5^\circ) = \cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ \).
3. Вспомним формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).
4. Применим её, где \( \alpha = 22.5^\circ \): \( \cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ = \cos(2 \cdot 22.5^\circ) = \cos(45^\circ) \).
5. Значение \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).