19) Докажите тождество (4sin α · cos α · cos 2α) / (cos² 2α - sin² 2α) · ctg 4α = 1.

Решение:

Преобразуем левую часть тождества, используя формулы тригонометрии.

1. Вспомним формулу синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
2. Тогда \( 4 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = 2 \sin(2\alpha) \).
3. Выражение в числителе: \( 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) \).
4. Вспомним формулу синуса двойного угла ещё раз: \( \sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta \). Если \( \beta = 2\alpha \), то \( \sin(4\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) \).
5. Значит, числитель равен \( \sin(4\alpha) \).
6. Теперь рассмотрим знаменатель: \( \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha \).
7. Это формула косинуса двойного угла \( \cos(2\gamma) = \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma \). Если \( \gamma = 2\alpha \), то знаменатель равен \( \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha) \).
8. Таким образом, дробная часть выражения равна \( \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} \).
9. Вспомним определение котангенса: \( \text{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \), и \( \text{ctg} 4\alpha = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \).
10. У нас есть \( \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} \), что является \( \text{tg}(4\alpha) \).
11. Исходное выражение теперь выглядит так: \( \text{tg}(4\alpha) \cdot \text{ctg}(4\alpha) \).
12. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \text{tg} \beta \cdot \text{ctg} \beta = 1 \) для всех \( \beta \), для которых оба выражения определены.
13. Следовательно, \( \text{tg}(4\alpha) \cdot \text{ctg}(4\alpha) = 1 \).

Тождество доказано.