2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 3, y = 0, x = -1, x = 1

Решение:

Фигура ограничена сверху параболой \( y = x^2 + 3 \) и снизу осью \( x \) (линией \( y=0 \)). Боковые границы заданы вертикальными прямыми \( x=-1 \) и \( x=1 \).

Площадь фигуры \( S \) вычисляется как определенный интеграл:

\( S = \int_{-1}^{1} (x^2 + 3) dx \)

Проинтегрируем функцию:

\( S = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{-1}^{1} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + 3 \cdot (-1) \right) \)

\( S = \left( \frac{1}{3} + 3 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 3 \right) \)

\( S = \frac{1}{3} + 3 + \frac{1}{3} + 3 \)

\( S = \frac{2}{3} + 6 = 6 \frac{2}{3} \) или \( \frac{20}{3} \).

Ответ: \(\frac{20}{3}\)