19. (3 балла) Решить уравнение (6х-5)√(2x²-5x+2) = 0

Решение:

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
2. Случай 1: 6x - 5 = 0.
3. 6x = 5.
4. x = 5/6.
5. Случай 2: √(2x²-5x+2) = 0.
6. Возведем обе части в квадрат: 2x² - 5x + 2 = 0.
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9.
8. x₁ = (5 + √9) / (2*2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2.
9. x₂ = (5 - √9) / (2*2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2.
10. Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию существования квадратного корня, то есть подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x² - 5x + 2 ≥ 0.
11. Наши корни (x=2 и x=1/2) являются корнями уравнения 2x² - 5x + 2 = 0, поэтому условие выполняется.
12. Также необходимо проверить, что значение подкоренного выражения не приводит к противоречию, если оно равно 0.
13. Проверим x = 5/6: 2(5/6)² - 5(5/6) + 2 = 2(25/36) - 25/6 + 2 = 25/18 - 150/18 + 36/18 = (25 - 150 + 36) / 18 = -89/18.
14. Поскольку подкоренное выражение отрицательно при x = 5/6, этот корень не подходит.
15. Проверим x = 2: 2(2)² - 5(2) + 2 = 2(4) - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0. Корень подходит.
16. Проверим x = 1/2: 2(1/2)² - 5(1/2) + 2 = 2(1/4) - 5/2 + 2 = 1/2 - 5/2 + 4/2 = (1 - 5 + 4) / 2 = 0. Корень подходит.

Ответ: 1/2, 2