17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 9.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD. Основания AB = 4, CD = 9. Диагональ AC образует с основанием CD угол 45° (\(\angle ACD = 45^\circ\)).

Проведем высоту BH из вершины B к основанию CD. Опустим перпендикуляр из вершины A на основание CD. Пусть это будет точка E. Тогда AE — высота трапеции, и AE = BH.

Так как трапеция равнобедренная, то \( DE = EC = \frac{CD - AB}{2} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. В нем \( AE \) — высота, \( DE = 2.5 \). Угол \(\angle ADE = 45^\circ \) (так как ABCD — равнобедренная трапеция, углы при основании равны).

В прямоугольном треугольнике ADE, если один из острых углов равен 45°, то другой острый угол тоже равен 45° (\(\angle DAE = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)). Следовательно, треугольник ADE — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Значит, \( AE = DE = 2.5 \).

Ответ: 2.5