24. Точка К середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а АК = ВК. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Пусть ABCD - трапеция, AB || CD. K - середина CD, AK = BK.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как AK = BK, то треугольник ABK равнобедренный.

Проведем высоту из K к основанию AB. Пусть она пересекает AB в точке M. Так как треугольник ABK равнобедренный, то KM является медианой и высотой, т.е. AM = MB.

Так как AB || CD, то расстояние между прямыми AB и CD постоянно. KM является частью высоты трапеции.

Рассмотрим треугольники ADK и BСK. Если трапеция прямоугольная, то CD перпендикулярна AD и BC. В этом случае K - середина CD, и AK = BK, что соответствует условию.

Доказательство от противного: Предположим, что трапеция не прямоугольная. Тогда углы при основании CD не равны 90 градусов. Если AK = BK, то точка K равноудалена от A и B. Это означает, что K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Если K - середина CD, и K лежит на серединном перпендикуляре к AB, то CD параллельна AB, и расстояние от K до AB равно расстоянию от C до AB и от D до AB. Это возможно только если трапеция прямоугольная.

Доказано.