16. (3 балла) Первый садовод высаживает 126 саженцев на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько саженцев за час высаживает первый садовод, если известно, что он за час может высадить на 5 саженцев больше второго?

Решение:

Пусть \( x \) — количество саженцев, которое высаживает первый садовод за час (саженцев/час). Тогда \( x - 5 \) — количество саженцев, которое высаживает второй садовод за час (саженцев/час).

Время, которое требуется первому садоводу, чтобы высадить 126 саженцев: \( t_1 = \frac{126}{x} \) часов.

Время, которое требуется второму садоводу, чтобы высадить 126 саженцев: \( t_2 = \frac{126}{x-5} \) часов.

По условию, первый садовод высаживает 126 саженцев на 5 часов быстрее, чем второй. Значит, \( t_1 = t_2 - 5 \).

1. Подставим выражения для времени: \( \frac{126}{x} = \frac{126}{x-5} - 5 \).
2. Приведём к общему знаменателю. Умножим всё на \( x(x-5) \): \( 126(x-5) = 126x - 5x(x-5) \).
3. Раскроем скобки: \( 126x - 630 = 126x - 5x^2 + 25x \).
4. Упростим уравнение: \( -630 = -5x^2 + 25x \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 5x^2 - 25x - 630 = 0 \).
6. Разделим на 5: \( x^2 - 5x - 126 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-126) = 25 + 504 = 529 \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \).
9. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 23}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).
10. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 23}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \).
11. Так как скорость высадки саженцев не может быть отрицательной, второй корень \( x_2 = -9 \) не подходит.
12. Следовательно, первый садовод высаживает \( x = 14 \) саженцев в час.

Ответ: 14