14. (3 балла) Решите уравнение sin²x - 2sinx = 0. В ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 4π.]

Решение:

1. Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (\sin x - 2) = 0 \).
2. Это уравнение распадается на два: \( \sin x = 0 \) или \( \sin x - 2 = 0 \).
3. Рассмотрим первое уравнение: \( \sin x = 0 \). Корни этого уравнения: \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
4. Рассмотрим второе уравнение: \( \sin x = 2 \). У этого уравнения нет решений, так как \( \sin x \) может принимать значения только от -1 до 1.
5. Теперь найдём решения уравнения \( x = \pi k \) на промежутке \( [0; 4\pi] \).
6. Подставим различные целые значения \( k \):
   • При \( k = 0 \): \( x = \pi \cdot 0 = 0 \). Это решение принадлежит промежутку.
   • При \( k = 1 \): \( x = \pi \cdot 1 = \pi \). Это решение принадлежит промежутку.
   • При \( k = 2 \): \( x = \pi \cdot 2 = 2\pi \). Это решение принадлежит промежутку.
   • При \( k = 3 \): \( x = \pi \cdot 3 = 3\pi \). Это решение принадлежит промежутку.
   • При \( k = 4 \): \( x = \pi \cdot 4 = 4\pi \). Это решение принадлежит промежутку.
   • При \( k = 5 \): \( x = \pi \cdot 5 = 5\pi \). Это решение НЕ принадлежит промежутку, так как \( 5\pi > 4\pi \).
   • При \( k = -1 \): \( x = \pi \cdot (-1) = -\pi \). Это решение НЕ принадлежит промежутку, так как \( -\pi < 0 \).
7. Таким образом, на промежутке \( [0; 4\pi] \) уравнение \( \sin x = 0 \) имеет 5 решений: \( 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \).

Ответ: 5