13. (3 балла) Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=х²-2x-2 и y=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для вычисления площади, ограниченной двумя параболами, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определённый интеграл разности функций.

1. Найдём точки пересечения парабол:
   Приравняем уравнения: \( x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \).
   Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \).
   \( 2x^2 - 2x - 4 = 0 \).
   Разделим на 2: \( x^2 - x - 2 = 0 \>.
   Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \), \( x_1 x_2 = -2 \)). Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \).
2. Вычислим площадь:
   Площадь \( S \) находится как интеграл от разности верхнего и нижнего графиков на промежутке от \( x_1 \) до \( x_2 \). Верхний график — \( y = -x^2 + 2 \), нижний — \( y = x^2 - 2x - 2 \).
   \[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]
   \[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx \]
   \[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]
   

   Теперь вычислим определённый интеграл:

   
   \[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{2} \]
   \[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]
   

   Подставим верхний предел (2) и нижний предел (-1):

   
   \[ S = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) \right) \]
   \[ S = \left( -\frac{2 \cdot 8}{3} + 4 + 8 \right) - \left( -\frac{2 \cdot (-1)}{3} + 1 - 4 \right) \]
   \[ S = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right) \]
   \[ S = \left( \frac{-16 + 36}{3} \right) - \left( \frac{2 - 9}{3} \right) \]
   \[ S = \frac{20}{3} - \frac{-7}{3} \]
   \[ S = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]
   

   Чертеж:

   
   
   
   
   
   
   
   
   x
   y
   
   (-1, -1)
   
   (2, -4)
   
   y=x²-2x-2
   
   y=-x²+2
   
   Area
   
   

   Ответ: 9