15. Определите с какой скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 3м, чтобы он подпрыг высоту 8м.

Решение:

1. Пусть \( v_0 \) — начальная скорость, с которой брошен мяч.
2. Высота падения \( h_1 = 3 \text{ м} \).
3. Высота подпрыгивания \( h_2 = 8 \text{ м} \).
4. Воспользуемся законом сохранения энергии. Энергия мяча в начальный момент (при броске) равна его потенциальной энергии в верхней точке после отскока.
5. Начальная энергия: \( E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1 \).
6. Энергия в верхней точке после отскока: \( E_2 = mgh_2 \).
7. Приравниваем энергии (пренебрегая потерями энергии на упругость и сопротивление воздуха): \( E_1 = E_2 \)
8. \( \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1 = mgh_2 \)
9. Сократим массу \( m \): \( \frac{1}{2}v_0^2 + gh_1 = gh_2 \)
10. Выразим \( v_0^2 \): \( \frac{1}{2}v_0^2 = gh_2 - gh_1 \)
11. \( v_0^2 = 2g(h_2 - h_1) \)
12. \( v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)} \)
13. Подставим значения: \( v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (8 \text{ м} - 3 \text{ м})} \)
14. \( v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 5} = \sqrt{98} \approx 9.9 \text{ м/с} \)

Ответ: ≈ 9.9 м/с.