14) (3 балла) Найдите экстремумы функции y(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 5 выяснить их род.

Решение:

1. Найдем первую производную функции:
   \( y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \)
   \( y'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \)
   Разделим на 6:
   \( x^2 - x - 2 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)
4. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
5. Определим род экстремумов с помощью второй производной. Найдем вторую производную:
   \( y''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6 \)
6. Проверим вторую производную в критических точках:
   При \( x = -1 \): \( y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 \). Так как \( y''(-1) < 0 \), то в точке \( x = -1 \) — максимум.
7. При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) — минимум.
8. Найдем значения функции в точках экстремума:
   Для \( x = -1 \) (максимум):
   \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 2(-1) - 3(1) + 12 + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \).
9. Для \( x = 2 \) (минимум):
   \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \).

Ответ: Максимум функции в точке \( x = -1 \), значение максимума \( y = 12 \). Минимум функции в точке \( x = 2 \), значение минимума \( y = -15 \).