13. (3 балла) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2х-3у+ 6 = 0, y = 0, x = 3

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала определим тип фигуры и её вершины.

Линии заданы уравнениями:

1. \( 2x - 3y + 6 = 0 \) (прямая)
2. \( y = 0 \) (ось абсцисс)
3. \( x = 3 \) (прямая, параллельная оси ординат)

1. Найдём точки пересечения линий.

Пересечение \( y=0 \) и \( x=3 \):

Точка пересечения — \( (3, 0) \).

Пересечение \( y=0 \) и \( 2x - 3y + 6 = 0 \):

Подставим \( y=0 \) в первое уравнение:

\[ 2x - 3(0) + 6 = 0 \]

\[ 2x + 6 = 0 \]

\[ 2x = -6 \]

\[ x = -3 \]

Точка пересечения — \( (-3, 0) \).

Пересечение \( x=3 \) и \( 2x - 3y + 6 = 0 \):

Подставим \( x=3 \) в первое уравнение:

\[ 2(3) - 3y + 6 = 0 \]

\[ 6 - 3y + 6 = 0 \]

\[ 12 - 3y = 0 \]

\[ 3y = 12 \]

\[ y = 4 \]

Точка пересечения — \( (3, 4) \).

2. Определим вид фигуры.

Фигура ограничена тремя линиями, которые образуют треугольник с вершинами в точках \( (-3, 0) \), \( (3, 0) \) и \( (3, 4) \).

3. Вычислим площадь треугольника.

Основание треугольника лежит на оси \( x \) (где \( y=0 \)). Длина основания равна разности x-координат вершин \( (3, 0) \) и \( (-3, 0) \):

\[ \text{Основание} = |3 - (-3)| = |3 + 3| = 6 \text{ единиц} \]

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины \( (3, 4) \) на ось \( x \) (или на прямую \( y=0 \)). Высота равна y-координате этой вершины:

\[ \text{Высота} = 4 \text{ единицы} \]

Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \):

\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 24 \]

\[ S = 12 \text{ квадратных единиц} \]

Если единицы измерения на осях соответствуют сантиметрам, то площадь будет в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12