11. Решите неравенство: \(\frac{x^2-16}{x+3} \leq 0\)

Решение:

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
2. Числитель: \( x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \).
3. Знаменатель: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).
4. Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки интервалов методом пробной точки:
• \( x < -4 \): например, \( x = -5 \). \( \frac{(-5)^2-16}{-5+3} = \frac{25-16}{-2} = \frac{9}{-2} < 0 \) (подходит).
• \( -4 < x < -3 \): например, \( x = -3.5 \). \( \frac{(-3.5)^2-16}{-3.5+3} = \frac{12.25-16}{-0.5} = \frac{-3.75}{-0.5} > 0 \) (не подходит).
• \( -3 < x < 4 \): например, \( x = 0 \). \( \frac{0^2-16}{0+3} = \frac{-16}{3} < 0 \) (подходит).
• \( x > 4 \): например, \( x = 5 \). \( \frac{5^2-16}{5+3} = \frac{25-16}{8} = \frac{9}{8} > 0 \) (не подходит).
5. Учитываем, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -3 \). Точки \( x = 4 \) и \( x = -4 \) включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
6. Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 4] \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 4] \).