11.23. Решите неравенство: 1) ¹⁰√(x + 2) > 1; 2) ⁴√(5x + 1) < 3; 3) ⁸√(x² − |x| + 1) > ⁸√(5 − |x|).

1) При чётном корне требуется \(x+2\ge0\). На области определения сравниваем неотрицательные подкоренные выражения: \(x+2>1\), откуда \(x>-1\).

2) Требуется \(5x+1\ge0\), то есть \(x\ge-\frac15\). Сравнение подкоренного выражения с \(3^4=81\) даёт \(5x+1<81\), то есть \(x<16\). Итак, \(-\frac15\le x<16\).

3) Обозначим \(t=|x|\). Подкоренное выражение слева \(t^2-t+1\) всегда положительно; справа необходимо \(5-t\ge0\), то есть \(t\le5\). Из монотонности восьмого корня следует \(t^2-t+1>5-t\), откуда \(t^2>4\), или \(t>2\). Значит, \(2<|x|\le5\).

Ответ: 1) \((-1;+\infty)\); 2) \([-\frac15;16)\); 3) \([-5;-2)\cup(2;5]\).