11.22. Решите неравенство: 1) ³√(3x + 1) < 4; 2) ⁸√(4x + 1) ≤ 1; 3) ⁴√(x² − 8) > ⁴√(2x).

1) Кубический корень возрастает на всей числовой прямой, поэтому \(3x+1<64\), откуда \(x<21\).

2) Нужна область определения: \(4x+1\ge0\). Так как обе части неотрицательны, неравенство равносильно \(4x+1\le1\). Совмещая условия, получаем \(-\frac14\le x\le0\).

3) Область определения двух корней требует \(x^2-8\ge0\) и \(2x\ge0\), следовательно, \(x\ge2\sqrt2\). Сравниваем подкоренные выражения: \(x^2-8>2x\), то есть \((x-4)(x+2)>0\). С учётом области определения остаётся \(x>4\).

Ответ: 1) \(( -\infty;21)\); 2) \([-\frac14;0]\); 3) \((4;+\infty)\).