23. ★★☆ У четырёхугольника ABCD рав- ны его углы А и В, а угол С равен 60°. Найдите угол D, если АВ = BC = CD.

Разберем эту задачу. Пусть ABCD — четырехугольник, где углы A и B равны, а угол C равен 60°. Также известно, что AB = BC = CD. Нам нужно найти угол D. Обозначим углы A и B как x. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно: \[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°\] \[x + x + 60° + \angle D = 360°\] \[2x + 60° + \angle D = 360°\] \[\angle D = 300° - 2x\] Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. Значит, угол BAC = угол BCA. Угол ABC равен x, поэтому: \[\angle BAC + \angle BCA + x = 180°\] \[2 \cdot \angle BAC + x = 180°\] \[\angle BAC = \frac{180° - x}{2}\] Угол BCD = 60°, поэтому угол ACD = угол BCD - угол BCA = 60° - (180° - x) / 2 = (120° - 180° + x) / 2 = (x - 60°) / 2. Так как BC = CD, то треугольник BCD равнобедренный. Значит, угол CBD = угол CDB. Угол BCD равен 60°, поэтому: \[\angle CBD + \angle CDB + 60° = 180°\] \[2 \cdot \angle CDB + 60° = 180°\] \[\angle CDB = \frac{180° - 60°}{2} = 60°\] То есть треугольник BCD равносторонний. Тогда CD = BD = BC. Так как AB = BC = CD, то AB = BD. В треугольнике ABD угол ABD = угол BAD = x. Угол ADB = 180° - 2x. Угол D = угол ADC = угол ADB + угол BDC = 180° - 2x + 60° = 240° - 2x. Мы также знаем, что угол D = 300° - 2x, следовательно: \[300° - 2x = 240° - 2x\] Что невозможно. Поскольку AB = BC = CD, можно построить четырехугольник ABCD так, что точка D будет совпадать с точкой A, образуя треугольник ABC. Тогда углы A и B будут равны, а угол C будет равен 60°. В этом случае: \(2x + 60 = 180\), следовательно \(x = 60\). Значит угол D равен 0°.

Ответ: 0°