21. ★★☆ Биссектрисы двух соседних углов четырёхугольника перпендику- лярны. Докажите, что две стороны этого четырёхугольника параллельны.

21. Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором биссектрисы углов A и B пересекаются под прямым углом (90°). Нужно доказать, что стороны BC и AD параллельны.

Решение:

Пусть AE и BE - биссектрисы углов A и B соответственно, и пусть они пересекаются в точке E, образуя угол $$\angle AEB = 90^\circ$$. Рассмотрим треугольник ABE.

Сумма углов в треугольнике ABE равна 180°: $$\angle AEB + \angle EAB + \angle EBA = 180^\circ$$

Так как AE и BE - биссектрисы, то $$\angle EAB = \frac{1}{2} \angle A$$ и $$\angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$$. Подставим известные значения:

$$90^\circ + \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 180^\circ$$

$$\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$

$$\angle A + \angle B = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$$

Сумма углов A и B равна 180°. Углы A и B являются внутренними односторонними углами при прямых AD и BC и секущей AB. Если сумма этих углов равна 180°, то прямые AD и BC параллельны: AD || BC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что две стороны четырехугольника параллельны.