Задание 9. вычислить: интеграл от -2 до 3 (4x^3 - 1) dx

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = 4x^3 - 1 \).

Первообразная \( F(x) = \int (4x^3 - 1) dx = 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} - 1 \cdot x = 4 \frac{x^4}{4} - x = x^4 - x \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_{-2}^{3} (4x^3 - 1) dx = F(3) - F(-2) \]

Вычислим \( F(3) \): \( F(3) = 3^4 - 3 = 81 - 3 = 78 \).

Вычислим \( F(-2) \): \( F(-2) = (-2)^4 - (-2) = 16 + 2 = 18 \).

Вычислим значение интеграла: \( 78 - 18 = 60 \).

Ответ: 60.