Задание 6. Решить уравнение: (1/5)^(x-2) = 125^x

Решение:

1. Представим оба числа как степени числа 5: \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \) и \( 125 = 5^3 \).
2. Подставим эти значения в уравнение: \( (5^{-1})^{x-2} = (5^3)^x \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 5^{-1(x-2)} = 5^{3x} \) \( 5^{-x+2} = 5^{3x} \).
4. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: \( -x + 2 = 3x \).
5. Решаем линейное уравнение: \( 2 = 3x + x \) \( 2 = 4x \) \( x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \).