Задание 5. Решить уравнение: √4x + 3 = √4x² + 5x - 2

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \( 4x + 3 = 4x^2 + 5x - 2 \).
2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 4x^2 + 5x - 4x - 2 - 3 = 0 \) \( 4x^2 + x - 5 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \).
4. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -1.25 \).
5. Проверим полученные корни в исходном уравнении.
6. При \( x = 1 \): \( \sqrt{4(1) + 3} = \sqrt{7} \) и \( \sqrt{4(1)^2 + 5(1) - 2} = \sqrt{4 + 5 - 2} = \sqrt{7} \). Корень \( x=1 \) подходит.
7. При \( x = -1.25 \): \( \sqrt{4(-1.25) + 3} = \sqrt{-5 + 3} = \sqrt{-2} \) — не имеет действительного значения. Значит, корень \( x=-1.25 \) не подходит.

Ответ: 1.