Задание 8. Найти производную: f(x) = x^7 - 3e^x + 2 sin x - 4x^5 + 8x + 6

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) \) по частям, используя правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \).
• Производная \( e^x \) равна \( e^x \).
• Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная константы равна 0.
• Производная \( c \cdot g(x) \) равна \( c \cdot g'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) - 3\frac{d}{dx}(e^x) + 2\frac{d}{dx}(\sin x) - 4\frac{d}{dx}(x^5) + 8\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(6) \]

\[ f'(x) = 7x^{7-1} - 3e^x + 2\cos x - 4(5x^{5-1}) + 8(1) + 0 \]

\[ f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2\cos x - 20x^4 + 8 \]

Ответ: \( f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2\cos x - 20x^4 + 8 \).