Задание 9. Найдите точку минимума функции ... 1) y=(x-1)²(x+4)+10;

Чтобы найти точку минимума функции y=(x-1)²(x+4)+10, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем исследовать знаки производной.

1. Находим производную функции:
   Используем правило производной произведения (uv)' = u'v + uv'.
   Пусть u = (x-1)², тогда u' = 2(x-1).
   Пусть v = x+4, тогда v' = 1.
   y' = (2(x-1))(x+4) + (x-1)²(1)
2. Упрощаем производную:
   y' = (2x - 2)(x + 4) + (x² - 2x + 1)
y' = (2x² + 8x - 2x - 8) + (x² - 2x + 1)
y' = 2x² + 6x - 8 + x² - 2x + 1
y' = 3x² + 4x - 7
3. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
   3x² + 4x - 7 = 0
   Используем дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100.
   x₁ = (-b + √D) / 2a = (-4 + 10) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1.
   x₂ = (-b - √D) / 2a = (-4 - 10) / (2 * 3) = -14 / 6 = -7/3.
4. Исследуем знаки производной:
   Парабола y' = 3x² + 4x - 7 с ветвями вверх. Корни x = 1 и x = -7/3.
   Слева от -7/3 (например, при x = -3): y' = 3(-3)² + 4(-3) - 7 = 3(9) - 12 - 7 = 27 - 19 = 8 > 0 (функция возрастает).
   Между -7/3 и 1 (например, при x = 0): y' = 3(0)² + 4(0) - 7 = -7 < 0 (функция убывает).
   Справа от 1 (например, при x = 2): y' = 3(2)² + 4(2) - 7 = 3(4) + 8 - 7 = 12 + 1 = 13 > 0 (функция возрастает).

Следовательно, в точке x = -7/3 происходит переход от возрастания к убыванию, а в точке x = 1 — от убывания к возрастанию.

Ответ: Точка минимума функции — x = 1.