Задание 7. Решите уравнение: 16^x - 60*4^x - 256 = 0

Решение:

Перепишем уравнение \( 16^x - 60 \cdot 4^x - 256 = 0 \), используя свойства степеней: \( 16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 \).

Пусть \( t = 4^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 60t - 256 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4(1)(-256) = 3600 + 1024 = 4624 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + 68}{2} = \frac{128}{2} = 64 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - 68}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = 4^x \).

Случай 1: \( 4^x = 64 \)

\[ 4^x = 4^3 \]

\[ x = 3 \]

Случай 2: \( 4^x = -4 \)

Это уравнение не имеет решений, так как степень числа с положительным основанием всегда положительна.

Ответ: \( x = 3 \).