Задание 4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y = x³ + 3x² + 2

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = x^3 + 3x^2 + 2 \), нужно найти её производную и определить знаки этой производной.

1. Найдем производную функции:

\[ y' = \left( x^3 + 3x^2 + 2 \right)' = 3x^2 + 6x \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 + 6x = 0 \]

\[ 3x(x + 2) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• На интервале \( (-\infty; -2) \), возьмем \( x = -3 \): \( y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-2; 0) \), возьмем \( x = -1 \): \( y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0; \infty) \), возьмем \( x = 1 \): \( y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -2] \) и \( [0; \infty) \). Функция убывает на интервале \( [-2; 0] \).