Задание 6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2x - 3, y = 0, x = 2

Решение:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 + 2x - 3 \), осью \( x \) (линия \( y = 0 \)) и вертикальной линией \( x = 2 \).

1. Сначала найдём точки пересечения параболы с осью \( x \) (при \( y = 0 \)):

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).

2. Нас интересует область от \( x = 1 \) (точка пересечения параболы с осью \( x \) справа от начала координат) до \( x = 2 \).
3. На интервале \( [1; 2] \) парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) находится ниже оси \( x \) (например, при \( x = 1.5 \), \( y = (1.5)^2 + 2(1.5) - 3 = 2.25 + 3 - 3 = 2.25 \) - здесь ошибка в рассуждении, проверим знаки функции между корнями. При \( x=0 \) (между -3 и 1), \( y = -3 \). Значит, между 1 и 2 функция положительна.).
4. Для \( x \in [1, 2] \), \( y = x^2 + 2x - 3 \ge 0 \) (например, при \( x=1.5 \), \( y=2.25 \)).
5. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \( y = x^2 + 2x - 3 \) по \( x \) от \( 1 \) до \( 2 \):

\[ S = \int_{1}^{2} (x^2 + 2x - 3) dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \right]_{1}^{2} \]

\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 - 3(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 4 - 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) \]

\[ S = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \]

Ответ: \( \frac{7}{3} \).