Задание 1. Найдите область определения функции: y = 1 / sqrt(-x^2 + 7x - 5)

Решение:

Чтобы найти область определения функции \( y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 7x - 5}} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было строго больше нуля (так как оно находится в знаменателе).

1. Приравниваем подкоренное выражение к неравенству: \( -x^2 + 7x - 5 > 0 \).
2. Умножаем обе стороны на -1 и меняем знак неравенства: \( x^2 - 7x + 5 < 0 \).
3. Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 49 - 20 = 29 \]

Корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2} \).

4. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 7x + 5 \) направлены вверх, а неравенство \( x^2 - 7x + 5 < 0 \), то значения \( x \) лежат между корнями.

Таким образом, область определения функции:

\[ \frac{7 - \sqrt{29}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{29}}{2} \]

Ответ: \( \left( \frac{7 - \sqrt{29}}{2}; \frac{7 + \sqrt{29}}{2} \right) \).