Задание 7. Решить неравенство. В ответ записать полученный промежуток: \(\log\)_{\(\frac{1}{2}\)}(1+2x) > -1

Решение:

1. Для начала найдём область определения логарифма: \( 1+2x > 0 \) \( \Rightarrow 2x > -1 \) \( \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \).
2. Представим \( -1 \) в виде логарифма с основанием \( \frac{1}{2} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-1} = \log_{\frac{1}{2}} 2 \).
3. Неравенство примет вид: \( \log_{\frac{1}{2}}(1+2x) > \log_{\frac{1}{2}} 2 \).
4. Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: \( 1+2x < 2 \).
5. Решим полученное линейное неравенство: \( 2x < 2-1 \) \( \Rightarrow 2x < 1 \) \( \Rightarrow x < \frac{1}{2} \).
6. Объединим условие области определения и полученное решение: \( x > -\frac{1}{2} \) и \( x < \frac{1}{2} \).
7. Таким образом, решением неравенства является промежуток \( (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \).

Ответ: (-\(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\).