Задание №13. Постройте криволинейную трапецию, ограниченную линиями и вычислите её площадь: y = x²; y = 0; x = -1; x = 2

Решение:

Криволинейная трапеция ограничена графиком функции \( y = x^2 \) (парабола), осью абсцисс \( y = 0 \) и вертикальными прямыми \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Площадь такой трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( a = -1 \) (нижний предел интегрирования) и \( b = 2 \) (верхний предел интегрирования).

Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{-1}^{2} x^2 dx \]

Найдём первообразную для \( x^2 \), которая равна \( \frac{x^3}{3} \).

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница \( F(b) - F(a) \):

\[ S = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \]

\[ S = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} \]

\[ S = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \]

\[ S = \frac{9}{3} \]

\[ S = 3 \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна 3.