Задание №12. Вычислите интеграл: ∫(3x²+2)/x dx

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int \frac{3x^2 + 2}{x} dx \) сначала упростим подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на \( x \):

\[ \frac{3x^2 + 2}{x} = \frac{3x^2}{x} + \frac{2}{x} = 3x + \frac{2}{x} \]

Теперь вычислим интеграл от полученного выражения:

\[ \int \left(3x + \frac{2}{x}\right) dx \]

Используем свойство линейности интегралов и табличные интегралы:

• \( \int cx dx = c \int x dx = c \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)

Применим эти правила:

\[ \int 3x dx + \int \frac{2}{x} dx \]

\[ = 3 \int x dx + 2 \int \frac{1}{x} dx \]

\[ = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2 \cdot \ln|x| + C \]

\[ = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \ln|x| + C \]

\[ = \frac{3}{2}x^2 + 2 \ln|x| + C \]

Ответ: \( \frac{3}{2}x^2 + 2 \ln|x| + C \).